4. РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ ПЛАТФОРМЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ

4.4. Оптимизационный синтез основных параметров устройства управления положением платформы строительной машины

При дальнейшем исследовании процесса управления платформой строительной машины в качестве оптимизируемых параметров приняты V_ВТЯГ и Δ_α. Величина времени запаздывания гидропривода системы управления принята равной τ_гп = 0,1 с.

В табл. 4.1 представлены значения варьируемых при исследовании математической модели процесса управления положением платформы строительной машины параметров V_ВТЯГ и Δ_α.

Таблица 4.1. Значения варьируемых параметров устройства управления

Таким образом, дальнейшие исследования были направлены на получение значений Dα_z, t_пп, а также установление зависимостей Dα_z, t_пп от варьируемых параметров V_ВТЯГ и D_α, значения которых представлены в табл. 4.1. Получены численные и графические зависимости Dα_z, t_пп от V_ВТЯГ и D_α (рис. 4.6, 4.7) при величине запаздывания гидропривода системы управления τ_гп=0,1 с.

Для нахождения целевых функций и решения задач оптимизации была проведена аппроксимация целевых функций Dα_z = f(V_ВТЯГ; D_α) и t_пп = f(V_ВТЯГ; D_α) уравнением регрессии. Было принято решение об аппроксимации зависимостей методом наименьших квадратов [16].

Рис. 4.6. График зависимости Dα_z от V_ВТЯГ и D_α

Рис. 4.7. График зависимости t_пп от V_ВТЯГ и D_α

Согласно этому методу, наилучшими параметрами а₁, а₂, …, а_m в аналитической зависимости считаются те, для которых сумма квадратов разности отклонения численных и теоретических данных минимальна [16]:

        (4.2)

В силу необходимости условия экстремума функции многих переменных частные производные этой функции по варьируемым параметрам обращаются в ноль:

(4.3)

Частные производные функции  по варьируемым параметрам [16]:

 (4.4)

По остальным параметрам а₂, а₃,…, а_m частные производные имеют аналогичный вид [6]:

   (4.5)

Решение этой системы относительно а₁, а₂,…, а_m дало искомые наилучшие значения числовых параметров.

Достоверность регрессионных зависимостей оценивается коэффициентом детерминации R², который вычисляется по формуле [16]

,                               (4.6)

где z_i – эмпирические данные; f_i – соответствующие им значения уравнения регрессии;  – среднее значение выборки.

Принято считать, что при R² ≥ 0,7 имеется высокая степень связи найденного уравнения регрессии с эмпирическими данными. Данное условие выбрано для проверки достоверности аппроксимации.

Программный комплекс MATLAB позволяет находить уравнения регрессии для функциональной зависимости вида z = f(x;y) вышеописанным методом при помощи встроенного пакета Surface Fitting Toolbox (рис. 4.8), представляющего собой оконный интерфейс с возможностью интерактивного выбора данных, методов и дополнительных настроек аппроксимации [4].

Рис. 4.8. Внешний вид окна инструмента «Surface Fitting»

Для аппроксимации необходимо задать в рабочей области MATLAB массивы входных и выходных переменных. Затем посредством специальной команды (sftool) запустить инструмент «Surface Fitting». Результат аппроксимации выводится в рабочем окне инструмента в виде функции и массива значений коэффициентов регрессии, а также оценки достоверности найденной зависимости. В данной работе, исходя из коэффициента R² принято решение об аппроксимации численных зависимостей Dα_z от V_ВТЯГ и D_α полиномом 3-й степени, в общем случае описываемым уравнением [14]

Dα_z (V_ВТЯГ; D_α) = p₀₀ + p₁₀∙ V_ВТЯГ + p₀₁∙D_α + p₂₀∙ V_ВТЯГ ² + p₁₁∙V_ВТЯГ ∙D_α +

+ p₀₂∙D_α ² + p₃₀∙ V_ВТЯГ ³ + p₂₁∙ V_ВТЯГ²∙D_α + p₁₂∙ V_ВТЯГ ∙D_α ² + p₀₃∙D_α ³,     (4.7)

где p_ij – коэффициенты уравнения регрессии; i – степень аргумента V_ВТЯГ; j – степень аргумента D_α.

Задача аппроксимации решается также в автоматизированном режиме посредством специального набора команд в командной строке MATLAB:

а)      команда формирования файл-функции:

function z = Da(Vv,da)

z = p00 + p10*Vv + p01*da + p20*Vv.^2 + p11*Vv.*da + p02*da.^2 + p30*Vv.^3 + p21*Vv.^2.*da + p12*Vv.*da.^2 + p03*da.^3;

б)      команда запуска аппроксимации:

ft = fittype( 'poly33' );

opts = fitoptions( ft );

opts.Weights = zeros(1,0);

[fitresult, gof]=fit( [Vv, da], Da, ft, opts).

Полученное уравнения регрессии зависимости Dα_z = f(V_ВТЯГ; D_α) для τ_гп = 0,1с:

Dα_z (V_ВТЯГ; D_α) = 0,02542 – 0,5787∙ V_ВТЯГ + 0,5186∙D_α + 16,91∙V_ВТЯГ ² –

– 12,8∙V_ВТЯГ ∙D_α  – 1,706∙D_α ²  –51,2∙ V_ВТЯГ³ + 74,63∙V_ВТЯГ²∙D_α –

 – 51,77∙ V_ВТЯГ ∙D_α ² + 27,07∙D_α ³.                          (4.8)

Рис. 4.9. График регрессионной зависимости Dα_z = f(V_ВТЯГ; D_α)

При этом R² = 0,9206. На рис. 4.9 представлен график полученной регрессионной зависимости Dα_z = f(V_ВТЯГ; D_α) для значения времени запаздывания гидропривода τ_гп = 0,1 с.

Полученное уравнения регрессии зависимости t_пп = f(V_ВТЯГ; D_α) для τ_гп = 0,1с:

t_пп (V_ВТЯГ; D_α) = 8,281 – 5,783∙V_ВТЯГ – 99,28∙D_α + 24,14∙V_ВТЯГ ² +

 + 13,89∙V_ВТЯГ ∙D_α  + 502,6∙D_α ²  – 60 ∙V_ВТЯГ³ + 62,86 ∙V_ВТЯГ ² ∙D_α  –    (4.9)

 – 97,14 ∙V_ВТЯГ ∙D_α ² – 853,3∙D_α ³.

При этом R² = 0,9993.

На рис. 4.10 представлен график полученной регрессионной зависимости t_пп = f(V_ВТЯГ; D_α) для значения времени запаздывания гидропривода τ_гп = 0,1 с.

Рис. 4.10. График регрессионной зависимости t_пп = f(V_ВТЯГ; D_α)

Алгоритм аппроксимации численных зависимостей Dα_z, t_пп от V_ВТЯГ и D_α графически представлен в виде блок-схемы на рис. 4.11 и состоит из следующей последовательности действий:

а)      чтение массивов входных (V_ВТЯГ; D_α) и выходных переменных Dα_z, t_пп;

б)      выбор вида уравнения регрессии, запись файл-функции (@Dα_z, @t_пп) с уравнением регрессии в рабочую область MATLAB;

в)      расчет коэффициентов уравнений регрессии и коэффициентов детерминации R², запись их в рабочую область MATLAB;

г)       проверка достоверности полученных уравнений по величине R².

Полученные уравнения регрессии позволили перейти к поиску оптимальных параметров.

Задачи оптимизации с точки зрения методов решения делятся на два класса [6]:

-  задачи безусловной оптимизации;

-  задачи условной оптимизации.

Рис. 4.11. Блок-схема алгоритма аппроксимации

зависимостей Dα_z = f(V_ВТЯГ; D_α) и t_пп = f(V_ВТЯГ; D_α)

Задача безусловной оптимизации представляет собой поиск оптимума целевой функции без всяких дополнительных условий и ограничений [22]:

f(x) → min(max).                                  (4.10)

Задача условной оптимизации в общем виде записывается [22]

                               (4.11)

В систему уравнений (4.11) входят три составляющие:

-  целевая функция F = f(x_j) показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным, то есть наилучшим, при этом возможны три вида назначения целевой функции: максимизация, минимизация, назначение заданного значения;

-  ограничения g_i(x_j)≤b_i устанавливают зависимости между переменными;

-  граничные условия d_j≤x_j≤D_j показывают, в каких пределах могут находиться значения искомых переменных в оптимальном решении.

При решении задач оптимизации в настоящей работе целевая функция и граничные условия были представлены в следующем виде:

t_пп = f(V_ВТЯГ; D_α) → min;

Dα_z ≤ Dα_zзад;

0,05 ≤ V_ВТЯГ ≤ 0,25 м/с;                                 (4.12)

0,05 ≤ D_α ≤ 0,25°;

R_i ≥ R_min;

L_{min пред} ≤ L_i ≤ L_{max пред}.

Для решения задачи условной оптимизации было решено воспользоваться методом множителей Лагранжа, который применим при наличии функциональных ограничений вида [22]

f_j = f_j (x₁, x₂,…, x_n) = 0,                               (4.13)

где j = 1, 2,…, m.

Для целевой функции Z (x₁, x₂,…, x_n) справедливо уравнение [22]

;               (4.14)

.                                (4.15)

Продифференцировав равенство (4.13), получим [22]

          (4.16)

Каждое из полученных m уравнений теперь умножим на пока еще неизвестный параметр λ, называемый множителем Лагранжа [22]:

.                            (4.17)

Сложив уравнения (4.13) и уравнение (4.16), получим [22]

             (4.18)

Поскольку все параметры x_i независимы, то для того, чтобы это уравнение удовлетворялось, достаточно, чтобы каждый из n членов равнялся нулю, получаем n уравнений [22]:

.               (4.19)

Таким образом, для перехода к методу множителей Лагранжа необходимо преобразовать ограничения-неравенства в уравнения, после чего целевая функция приобретет вид [22]

                            (4.20)

При этом задача оптимизации становится безусловной и представляется в виде функции Лагранжа [22]:

              (4.21)

Таким образом, была поставлена задача условной оптимизации при помощи задания целевой функции и граничных условий и осуществлен переход от нее к безусловной оптимизации.

Для решения задачи безусловной оптимизации был использован модифицированный метод Ньютона, основанный на пересчете матрицы Гессе формулой Бройзена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно (алгоритм BFGS), реализованный в программном комплексе MATLAB [22].

Стратегия данного метода состоит в построении последовательности точек {x^k}, k = 0,1,…,n, таких, что f(x^k+1) < f(x^k). Точки последовательности вычисляются по правилу [22]

x^k+1 = x^k + β_k∙s_k,                                   (4.22)

где х⁰ задается пользователем, а направление спуска β_k∙s_k определяется для каждого значения k по формулам [22]:

;                                    (4.23)

;                                    (4.24)

,                                 (4.25)

где H – матрица Гессе;  – градиент функции f(x) в точке x^k.

Формула пересчета Бройзена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно (BFGS) [22]:

;(4.26)

;                                      (4.27)

.                               (4.28)

Построение последовательности {x^k} заканчивается в точке x^k при условии

                              (4.29)

где ε – заданное малое положительное число (точность приближения).

Программный комплекс MATLAB позволяет проводить оптимизацию функциональных зависимостей вида z = f(x,y) вышеописанным методом при помощи встроенного пакета «Optimization Tool» (рис. 4.12), представляющего собой оконный интерфейс с возможностью задания настроек оптимизации, оптимизируемой функции и граничных условий [4].

Задача оптимизации может решаться также в автоматизированном режиме посредством специального набора команд в командной строке MATLAB:

function [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = Opttpp(x0,lb,ub)

options=optimset;

options=optimset(options,'Display','off');

options=optimset(options,'Algorithm','interior-point');

fmincon(@tpp,x0,[],[],[],[],lb,ub,[],options);

Таким образом были получены оптимальные значения основных параметров устройства управления положением платформы строительной машины: V_ВТЯГ= 0,25 м/с; D_α = 0,172°.

Рис. 4.12. Внешний вид окна инструмента «Optimization Tool»

Алгоритм оптимизации параметров V_ВТЯГ и D_α по целевой функции критерия эффективности t_пп графически представлен в виде блок-схемы на рис. 4.14 и состоит из следующей последовательности действий:

а)  постановка задачи оптимизации: файл-функция (@t_пп) с коэффициентами (p₀₀…p_ij), ее оптимум, точка начала оптимизации (x0) и граничные условия (lb,ub);

б) нахождение интервала значений V_ВЫД, D_α для заданной точности Dα_z (рис. 4.13);

в)   переход от задачи условной к задаче безусловной оптимизации, используя метод множителей Лагранжа;

г)  нахождение оптимума целевой функции и соответствующих ему переменных V_ВТЯГ и D_α;

д) запись найденных оптимальных значений Dα_z, t_пп, V_ВТЯГ, D_α в рабочую область MATLAB.

Рис. 4.13. График регрессионной зависимости Dα_z = f(V_ВТЯГ; D_α) с наложенными ограничениями Dα_zзад

Проведенный анализ, аппроксимация и оптимизация основных параметров устройства управления положением платформы строительной машины позволили составить алгоритм оптимизационного синтеза, графически представленный в виде блок-схемы на рис. 4.15.

Оптимизационный синтез состоит из следующей последовательности действий:

1.  Постановка задачи оптимизации: выбор целевой функции: t_пп=f(V_ВТЯГ; D_α) → min.

2.  Аппроксимация численных зависимостей t_пп и Dα_z от V_ВТЯГ и D_α согласно алгоритму оптимизации (рис. 4.14): получение коэффициентов уравнения регрессии – полинома 3-й степени.

3.  Решение задачи условной оптимизации параметров, используя методы множителей Лагранжа и Ньютона: расчет и запись в рабочую область MATLAB оптимальных значений параметров Dα_z, t_пп, V_ВТЯГ и D_α как результата решения задачи условной оптимизации целевой функции t_пп = f(V_ВТЯГ; D_α) → min.

Рис. 4.14. Блок-схема алгоритма оптимизации основных

параметров устройства управления положением платформы

строительной машины

Результатом оптимизационного синтеза являются оптимальные значения скорости выдвижения аутригеров платформы строительной машины V_ВТЯГ и значение зоны нечувствительности порогового элемента D_α при определенном времени запаздывания гидропривода τ_гп.