Д.А. Кривошеин, Л.А. Муравей, Н.Н. Роева, О.С. Шорина, Н.Д. Эриашвили, Ю.Г. Юровицкий, В.А. Яковлев
Экология и безопасность жизнедеятельности
Учебное пособие для вузов / Под ред. Л.А. Муравья. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 447 с.
Раздел 3. Моделирование в экологии
Глава 9. Динамические модели
9.3. Простейшая модель эпидемии
За многие годы существования человечества огромное число
людей погибло от разных эпидемий. Для того чтобы уметь бороться с эпидемиями,
т. е. своевременно проводить тот или иной комплекс мероприятий (прививки,
вакцины, карантин и т.д.), необходимо уметь оценить эффективность каждого
такого комплекса и выбрать наиболее оптимальный для данного вида эпидемии
(холера, чума, грипп, СПИД и т.д.). Оценка эффективности базируется, как
правило, на прогнозе о протекании эпидемии. Отсюда вытекает задача построения
модели, которая могла бы служить целям прогноза. Самой простой моделью является
описание естественного хода эпидемии без применения каких-либо профилактических
мероприятий.
Итак, пусть имеется N здоровых людей, и в момент
времени t = 0 в эту группу попадает один
заболевший человек (источник инфекции). Предположим, что удаления заболевших из
группы не происходит и человек становится источником инфекции сразу же, как
заразился сам.
Обозначим через x(t) число источников инфекции в момент времени t, а через y(t) – число еще не заболевших (часть из них, естественно,
может заболеть с течением времени). Очевидно, что х(t)
+ y(t) = N +1 в
любой момент времени t, причем при t = 0 выполняется условие х(0) = 1. Рассмотрим интервал
времени t, t
+∆ t, где ∆ t достаточно мало. Естественно, что число больных ∆х,
появившихся за этот интервал, пропорционально ∆t(∆x≈∆t).
Естественно также предположить, что это число пропорционально числу контактов
между больными и здоровыми, т.е. произведению x(t)y(t).
Таким образом, ∆x≈αx(t)y(t)dt, где α –
коэффициент пропорциональности. Устремляя ∆t
к нулю из последнего соотношения, получим дифференциальное уравнение
=αx(t)(N+1-x(t)), (9.14)
которое вместе с начальным условием
х(0)=1
(9.15)
определяет функцию x(t). Уравнение (9.14) по
виду является логистическим, оно рассмотрено в предыдущем параграфе. Поэтому
сразу можно записать решение x(t) задачи Коши (9.14), (9.15) в удобном виде
, t 0. (9.16)
Итак, число заболевших – функция времени. Проанализируем эту
функцию. Из уравнения (9.16) вытекает, что с течением времени число
заболевших может только увеличиваться, а все здоровые люди заболеют, так как =N+1.
Конечно, это грубая модель, не учитывающая естественного иммунитета у здоровых
людей к данному заболеванию.
Интересно выяснить, как меняется скорость увеличения числа
больных, т. е. величина
, t
0 (9.17)
Для решения этого вопроса нужно изучить величину .
Дифференцируя уравнение (9.17), получаем
, t
0. (9.18)
Из этого уравнения вытекает, что при > 0 при t и
< 0 при
t . Следовательно, скорость возрастания
заболевших – функция – растет до момента t , а затем убывает. Несмотря на грубость
модели, этот результат совпадает с экспериментальными данными: в начале
эпидемии число заболевших резко возрастает, а впоследствии скорость
распространения инфекции снижается.
Для сравнения приведем результаты использования более
сложных моделей развития гриппозной эпидемии в Москве [22], где население
составляет 8,5 млн человек. Это позволит нам также определить численные
значения параметров N и α, при которых наша модель более
реалистична.
Началу эпидемии соответствует число заболевших 79,1 тыс.
человек, откуда N = 8,5 млн./79,1 тыс. ≈1100 человек. Пик
заболеваемости приходится на 46-й день, т. е. 46, откуда
. По формуле (9.16) находим число больных . По отношению к 1100 чел. это составляет
11%, что согласуется с экспериментальными данными [22], где число больных равно
981 тыс. человек и составляет 11,5%. Конечно, применение соответствующих
профилактических мер дает значительный положительный эффект, пик числа больных
снижается с 981тыс. до 122 тыс. человек, однако создание соответствующей
математической модели – существенно более трудная задача.
|