А.И.Орлов

ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТЬЮ

4. Установление и контроль экологических требований

4.7. Оперативная характеристика плана статистического контроля

Каковы свойства плана статистического контроля? Они, как правило, определяются с помощью функции f(p), связывающей вероятность p дефектности единицы контроля с вероятностью f(p) положительной оценки экологической обстановки (приемки партии) по результатам контроля. При этом вероятность p того, что конкретная единица дефектна, называется входным уровнем дефектности, а указанная функция называется оперативной характеристикой плана контроля. Если дефектные единицы отсутствуют, р = 0, то партия всегда принимается, т.е. f(0) = 1. Если все единицы дефектные, р = 1, то партия наверняка бракуется, f(1) = 0. Между этими крайними значениями р функция f(p) монотонно убывает.

Вычислим оперативную характеристику плана (n,0). Поскольку партия принимается тогда и только тогда, когда все единицы являются годными, а вероятность того, что конкретная единица —годная, равна (1‑р), то оперативная характеристика имеет вид

f(p) = Р (Х=0) = (1 —р)ⁿ  .                  (4.6)

Для плана (n,1) оперативная характеристика, как легко видеть, такова:

f(p) = Р(Х=0)+Р(Х=1) = (1 —р)ⁿ + n (1 —р)^n-1   . (4.7)

Оперативные характеристики для конкретных планов статистического  контроля не всегда имеют такой простой вид, как в случае формул (4.6) и (4.7). Рассмотрим в качестве примера план (20, 0, 2) + (40, 0). Сначала найдем вероятность того, что партия будет принята по результатам контроля первой партии. Согласно формуле (4.6),

f₁(p) = Р (Х=0) = (1 —р)²⁰   .

Вероятность того, что понадобится контроль второй выборки, равна

Р(Х=1) = 20 (1 —р)¹⁹   .

При этом вероятность того, что по результатам её контроля партия будет принята, равна

f₂(p) = Р (Х=0) = (1 —р)⁴⁰   .

Следовательно, вероятность того, что партия будет принята со второй попытки, т.е. что при контроле первой выборки обнаружится ровно одна дефектная единица, а затем при контроле второй —ни одной, равна

f₃(p) = Р (Х=1) f₂(p) = 20 (1 —р)¹⁹(1 —р)⁴⁰ = 20 (1 —р)⁵⁹   .

Следовательно, вероятность принятия партии с первой или со второй попытки равна

f(p) = f₁(p) + f₃(p) = (1 —р)²⁰ + 20 (1 —р)⁵⁹  .

При практическом применении методов статистического приемочного контроля для нахождения оперативных характеристик планов контроля вместо формул, имеющих обозримый вид лишь для отдельных видов планов, применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы.

С оперативной характеристикой связаны важные понятия приемочного и браковочного уровней дефектности, а также понятия "риск поставщика" и "риск потребителя". Чтобы ввести эти понятия, на оперативной характеристике выделяют две характерные точки, делящие входные уровни дефектности на три зоны —А, Б и В. В зоне А почти всегда экологическая обстановка признается благополучной, почти все партии принимаются. В зоне В почти всегда экологический контроль констатирует экологические нарушения, почти все партии бракуются. Зона Б —промежуточная, в ней как вероятность приемки, так и вероятность браковки заметно отличаются от 0. Для задания границ между зонами выбирают два малых числа —риск поставщика (предприятия) a и риск потребителя (системы экологического контроля) b, границы между зонами задают два уровня дефектности —приемочный p_пp и браковочный p_бр, определяемые из уравнений

f(p_пp) = 1 —a,  f(p_бр) = b.                       (4.8)

Таким образом, если входный уровень дефектности не превосходит p_пp, то вероятность забракования партии мала, т.е. не превосходит a.

Приемочный уровень дефектности выделяет зону А значений входного уровня дефектности, в которой нарушения экологической безопасности почти никогда не отмечаются, партии почти всегда принимаются, т.е. соблюдаются интересы проверяемого предприятия (в экологии), поставщика (при контроле качества).

Если же входной уровень дефектности больше браковочного уровня дефектности p_бр, то нарушения почти наверняка фиксируются, партия почти всегда бракуется, т.е. экологии узнают о нарушениях, потребитель оказывается защищен от попадания к нему партий со столь высоким уровнем брака. Поэтому можно сказать, что в зоне В наверняка соблюдаются интересы потребителя —брак к нему не попадает.

При выборе плана контроля часто начинают с выбора приемочного и браковочного уровней дефектности. При этом выбор конкретного значения приемочного уровня дефектности отражает интересы поставщика, а выбор конкретного значения браковочного уровня дефектности —интересы потребителя. Можно доказать, что для любых положительных чисел a и b, и любых входных уровней дефектности p_пp и p_бр, причем p_пp меньше p_бр, найдется план контроля (n,c) такой, что его оперативная характеристика f(p) удовлетворяет неравенствам

f(p_пp) > 1 —a,  f(p_бр) < b.

При практических расчетах обычно принимают a = 0,05 и b = 0,1.

Вычислим приемочный и браковочный уровни дефектности для плана (n,0). Из формул (4.6) и (4.8) вытекает, что

(1 —p_пp)ⁿ = 1 —a, p_пp = 1 —(1 —a)^1/n.

Поскольку риск поставщика a мал, то из известного соотношения математического анализа вытекает приближенная формула

p_пp = a / n .

Для браковочного уровня дефектности имеем

p_бр = 1 - b^1/n .

При практическом применении методов статистического приемочного контроля для нахождения приемочных и браковочных уровней дефектности планов контроля вместо формул, имеющих обозримый вид лишь для отдельных видов планов, применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы, имеющиеся в нормативно-технической документации или научно-технических публикациях.